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%\newtheorem{proposition}{Proposition}% 定义命题样式
\newtheorem{proposition}{Proposition}

\begin{document}

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\section*{II. Connexions régulières}

\subsection*{1. Régularité en dimension un}

\subsubsection*{1.1.}
Soit $U$ un voisinage ouvert de $0$ dans $\mathbb{C}$ et soit une équation différentielle du $n$\textsuperscript{ième} ordre,
\begin{equation}
y^{(n)} + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x)\, y^{(i)} = 0 \tag{1.1.1}
\end{equation}
où $a_i$ est une fonction holomorphe sur $U - \{0\}$. On dit classiquement que $0$ est un point singulier régulier de l'équation (1.1.1) si les fonctions $x^{n-1} a_i(x)$ sont holomorphes en $0$. Ceci signifie encore que, après multiplication par $x^n$, l'équation (1.1.1) se met sous la forme
\begin{equation}
\left(x \frac{d}{dx}\right)^n y + \sum_i b_i(x)\, \left(x \frac{d}{dx}\right)^i y = 0 \tag{1.1.2},
\end{equation}
avec $b_i(x)$ holomorphe en zéro.

Dans ce \S, on traduit cette notion en terme de connexions (cf. I.4), et on en établit quelques propriétés.

Les résultats de ce \S m'ont été enseignés par N. KATZ. Ils sont soit dûs à N. KATZ (voir notamment \cite{Katz14} \cite{Katz15}), soit classiques (voir par exemple INCE \cite{Ince13}, Turrittin \cite{Turrittin25} \cite{Turrittin26}).

\subsubsection*{1.2.}
Soient $K$ un corps (commutatif), $\Omega$ un vectoriel de rang un sur $K$ et $d: K \to \Omega$ une dérivation non triviale, i.e. une application additive non nulle vérifiant l'identité
\begin{equation}
d(xy) = x\,dy + y\,dx \tag{1.2.1}.
\end{equation}

Soit $V$ un vectoriel de dimension finie $n$ sur $K$. Une \emph{connexion} sur $V$ est une application additive $\nabla: V \to \Omega \otimes V$ vérifiant l'identité
\begin{equation}
\nabla(xv) = dx.v + x.\nabla v \tag{1.2.2}.
\end{equation}

Si $\tau$ est un élément du dual $\Omega^*$ de $\Omega$, on pose
\begin{align}
\partial_\tau(x) &= \langle dx, \tau \rangle \in K \tag{1.2.3} \\
\nabla_\tau(v) &= \langle \nabla v, \tau \rangle \in V \tag{1.2.4}.
\end{align}

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On a donc
\begin{align}
\partial_\tau &\text{ est une dérivation} \tag{1.2.5} \\
\nabla_\tau(xv) &= \partial_\tau(x) \cdot v + x \cdot \nabla_\tau v \tag{1.2.6} \\
\nabla_{\lambda\tau}(v) &= \lambda \cdot \nabla_\tau v \tag{1.2.7}.
\end{align}

Soit $v \in V$. On vérifie facilement que le sous-vectoriel de $V$ engendré par les vecteurs
\[
v,\; \nabla_{\tau_1} v,\; \nabla_{\tau_2} v,\; \nabla_{\tau_1} \nabla_{\tau_k} v,\; \dots,\; \nabla_{\tau_1} \cdots \nabla_{\tau_k} v,
\]
pour $\tau_i \neq 0$ dans $\Omega$, ne dépend pas du choix des $\tau_i \neq 0$ et ne change pas si on remplace $v$ par $\lambda v$ ($\lambda \in K^*$). De plus, si le dernier de ces vecteurs est combinaison linéaire des précédents, alors ce vectoriel est stable par dérivation. On dira que $v$ est un \textbf{vecteur cyclique} si pour $\tau \in \Omega$, les vecteurs
\[
\nabla_\tau^i v \quad (0 \leq i \leq n)
\]
forment une base de $V$.

\subsubsection*{1.3.}
\textbf{Lemme 1.3.}
Sous les hypothèses précédentes, et si $K$ est de caractéristique $0$, il existe un vecteur cyclique.

Soit $t \in K$ tel que $dt \neq 0$, et soit $\tau = t/dt \in \Omega^*$. On a
\[
\partial_\tau(t^k) = k t^k.
\]

Soit $m \leq n$ le plus grand entier tel qu'il existe un vecteur $e$ tel que les vecteurs $\partial_\tau^i e$ ($0 \leq i < m$) soient linéairement indépendants. Si $m \neq n$, il existe un vecteur $f$ linéairement indépendant des $\partial_\tau^i e$. Quels que soient le nombre rationnel $\lambda$ et l'entier $k$, les vecteurs
\[
\partial_\tau^i(e + \lambda\, t^k f) \quad (0 \leq i \leq m)
\]
sont linéairement dépendants, et leur produit extérieur $w(\lambda,k)$ est donc nul. On a
\[
\partial_\tau^i(e + \lambda\, t^k f) = \partial_\tau^i e + \lambda \sum_{0 \leq j \leq i} k^j\, t^k\, \partial_\tau^{i-j} f.
\]

On déduit de cette formule une décomposition finie
\[
w(\lambda,k) = \sum_{\substack{0 \leq a \leq m \\ 0 \leq b}} \lambda^a\, t^{ka}\, \lambda^b\, w_{a,b}
\]
%où les $w_{a,b}$ sont des éléments fixes de $\bigwedge^m V$.




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avec $w_{a,b}$ indépendant de $\lambda$ et $k$. Puisque $w(\lambda,k) = 0$ pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{Q}$, et que
\[
w(\lambda,k) = \sum \lambda^a w_a(k), \quad \text{avec } w_a(k) = t^{ka} (\sum k^b w_{a,b}) = t^{ka} w'_a(k)
\]
on a $w_a(k) = w'_a(k) = 0$. Puisque
\[
w'_a(k) = \sum k^b w_{a,b} = 0
\]
pour tout $k \in \mathbb{Z}$, on a $w_{a,b} = 0$. 

En particulier
\[
w_{1,m} = e \wedge \partial_\tau^1 e \wedge \ldots \wedge \partial_\tau^{m-1} e \wedge f = 0,
\]
et $f$ est linéairement dépendant des 
\[
\partial_\tau^i e (0 \leq i < m),
\]
contrairement à l'hypothèse. 
On a donc $m = n$ et $e$ est un vecteur cyclique.


\subsection*{1.4.}
Soit $\Theta$ un anneau de valuation discrète d'égale caractéristique $0$, d'idéal maximal $\mathfrak{m}$, de corps résiduel $k = \Theta/\mathfrak{m}$ et de corps des fractions $K$. On suppose $\Theta$ muni d'un $\Theta$-module libre de rang un $\Omega$ et d'une dérivation $d : \Theta \to \Omega$ qui vérifie

\begin{enumerate}
\item[1.4.1.] 
Il existe une uniformisante $t$ telle que $dt$ engendre $\Omega$.

(Pour moins d'hypergénéralité, voir 1.7).

Si $t_1$ est une autre uniformisante, on a $t_1 = at$ avec $a \in \Theta^*$, et par hypothèse $da$ est multiple de $dt$: $da = \lambda\, dt$. On a donc
\[
dt_1 = a\, dt + da\, t = (a + \lambda t)\, dt,
\]
%et

\item[1.4.2.]
Pour toute uniformisante $t$, $dt$ engendre $\Omega$.

On désignera par
\[
v : K^* \longrightarrow \mathbb{Z}
\]
la valuation de $K$ définie par $\Theta$; on désignera encore par $v$ la valuation de $\Omega \otimes K$ définie par le réseau $\Omega$. Pour $t$ une uniformisante,
\[
v(\omega) = v(\omega/dt).
\]

Si $f \in K^*$, $f = at^n$ ($a \in \Theta$), on a
\[
df = da\cdot t^n + na\cdot t^{n-1} dt
\]
et donc

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\item[1.4.3.]
$$ v(df) \leq v(f) - 1. $$ 

\item[1.4.4.]
$$ v(f) \neq 0 \implies v(df) = v(f) - 1. $$

En particulier, $d$ est continu, s'étend en $d : \widehat{\Theta} \longrightarrow \widehat{\Omega}$, et le triple $(\widehat{\Theta}, d, \widehat{\Omega})$ vérifie encore (1.4.1).

\end{enumerate}


\subsubsection*{1.5.}

\textbf{Lemme 1.5.}
Si $\Theta$ est complet, alors le triple $(\Theta, d, \Omega)$ est isomorphe au triple $$(k[[t]], \partial_t, k[[t]]\,dt).$$

Les homomorphismes induits par $d$
\[
\mathrm{Gr}(d) : \mathfrak{m}^i / \mathfrak{m}^{i+1} \longrightarrow \mathfrak{m}^{i-1} \Omega / \mathfrak{m}^i \Omega
\]
sont linéaires bijectifs (1.4.4). Puisque $\Theta$ est complet, $d : \mathfrak{m} \to \Omega$ est donc surjectif et $\ker(d) \xrightarrow{\sim} k$. Ceci nous fournit un corps de représentants annulé par $d$, et le choix d'une uniformisante $t$ fournit l'isomorphisme voulu $$k[[t]] \xrightarrow{\sim} \Theta.$$

\subsection*{1.6.}
Si une $\Theta$-algèbre $\Theta'$ est un anneau de valuation discrète de corps des fractions $K'$ algébrique sur $K$, la dérivation $d$ se prolonge de façon unique en
\[
d : K' \longrightarrow \Omega \otimes_\Theta K'.
\]
Soient $e$ l'indice de ramification de $\Theta$ à $\Theta'$, et $t'$ une uniformisante de $\Theta'$. On pose
\[
\Omega' = t'^{e-1} \Omega \otimes_\Theta \Theta'.
\]
On vérifie aisément à l'aide de 1.6 que le triple $(\Theta', d, \Omega')$ vérifie encore 1.4.1.

\subsection*{1.7.}
Nous serons surtout intéressés par les exemples suivants. Soient $X$ une courbe algébrique complexe non singulière et $x \in X$. On prend au choix

\begin{itemize}
\item $\Theta = \mathcal{O}_{x,X}$, anneau local pour la topologie de Zariski, $\Omega = (\Omega^1_{X/\mathbb{C}})_x$, $d$ = différentielle \hfill (1.7.1)

\item $\Theta = \mathcal{O}_{x,X,\mathrm{an}}$, anneau local des germes de fonctions holomorphes en $x$, $\Omega = (\Omega^1_{X,\mathrm{an}/\mathbb{C}})_x$, $d$ = différentielle \hfill (1.7.2)

\item le complété commun de (1.7.1) et (1.7.2). \hfill (1.7.3)

\end{itemize}

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\subsection*{1.8.}
Sous les hypothèses de 1.4, soit $V$ un espace vectoriel de dimension finie sur $K$, et $V_0$ un réseau dans $V$, i.e. un sous-$\Theta$-module libre de $V$ tel que $KV_0 = V$. Pour tout homomorphisme $e : \Theta^n \longrightarrow V$, on appellera valuation $v(e)$ de $e$ le plus grand entier $m$ tel que $e(\Theta^n) \subset \mathfrak{m}^m V_0$. Si $V_0$ et $V_1$ sont deux réseaux, il existe un entier $s$ indépendant de $e$ et $n$ tel que
\begin{equation}
|v_{V_0}(e) - v_{V_1}(e)| \leq s. \tag{1.8.1}
\end{equation}

\subsection*{1.9.}

\textbf{Théorème 1.9. (N. Katz)}
Sous les hypothèses de 1.4 et avec les notations de 1.8, soit $\nabla$ une connexion (1.2) sur un espace vectoriel $V$ de dimension $n$ sur $K$. Une des conditions suivantes est vérifiée :
\begin{enumerate}
\item[(a)] Quels que soient le réseau $V_0$ dans $V$, la base $e : k^n \longrightarrow V$ de $V$, la forme différentielle présentant un pôle simple $\omega$ et $\tau = \omega^{-1} \in \Omega_K$, les nombres $-v(\nabla_\tau^i e)$ sont bornés supérieurement.
\item[(b)] Il existe un nombre rationnel $r > 0$, de dénominateur au plus $n$, tel que, quels que soient $V_0$, $e$ et $\tau$ comme plus haut, la famille des nombres
\[
|-v(\nabla_\tau^i e) - ri|
\]
est bornée.
\end{enumerate}


Les conditions (a) et (b) sont plus maniables sous une autre forme.

\textbf{Lemme 1.9.1}
Soient $V_0$, $\tau$ et $e$ comme en 1.9. L'estimation (b), pour une valeur donnée de $r$, équivaut à
\begin{equation}
\left|\sup_{j \leq l} (-v\nabla_\tau^j e) - rl\right| \leq C^{te}. \tag{1.9.2}
\end{equation}
L'estimation (a) équivaut à la même majoration (1.9.2) pour $r = 0$.

Le passage de 1.9 à (1.9.2) est clair, ainsi que la réciproque pour $r = 0$. Supposons donc (1.9.2) vrai pour $r > 0$ et une valeur $C_0$ de la constante. On a
\[
(a)\quad -v\nabla_\tau^l e - rl \leq C_0.
\]

On vérifie aussitôt qu'il existe une constante $k$ telle que
\[
-v\nabla_\tau^n(\nabla_\tau^l e) \leq -v\nabla_\tau^l e + kn.
\]

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Dès lors,
\begin{align*}
-C_0 + r(l+n) &\leq \sup_{j \leq l+n} -v\nabla_\tau^j e = \sup_{j \leq l} (\sup(-v\nabla_\tau^j e, -v\nabla_\tau^l e + kn)) \\
&\leq \sup(C_0 + rl, -v\nabla_\tau^l e + kn)
\end{align*}
et si $-C_0 + r(l+n) > C_0 + rl$, i.e. si $n > 2C_0/r$, on a
\[
(b)\quad -v\nabla_\tau^l e \geq (-C_0 - kn - rn) + rl.
\]

Les inégalités (a) et (b) impliquent l'inégalité du type 1.9
\[
|-v\nabla_\tau^l e - rl| \leq C_0 + kn + rn.
\]

\textbf{Lemme 1.9.3}
Soient deux systèmes $(V_0, \tau_0, e_0), (V_1, \tau_1, e_1)$ comme en 1.9. On a
\[
\left|\sup_{j \leq l} (-v\nabla_{\tau_1}^j e_1) - \sup_{j \leq l} (-v\nabla_{\tau_0}^j e_0)\right| \leq c^{te}.
\]

Il suffit d'établir une inégalité (1.9.3) lorsqu'on change une seule des données $V_0$, $\tau_0$, $e$. Le cas où on change seulement le réseau de référence $V_0$ résulte de (1.8.1).

On utilisera systématiquement que, pour $f \in K$, on a par 1.4.3 (notation de 1.2.3)
\begin{equation}
v(\partial_{\tau_1} f) \geq v(f). \tag{1.9.4}
\end{equation}

Si $e$ et $f$ sont deux bases, on a $e = fa$ avec $a \in \mathrm{GL}_n(K)$, d'où
\[
\nabla_\tau^l(e) = \sum_j \binom{l}{j} \nabla_\tau^j(f)\cdot \nabla_\tau^{l-j} a,
\]
et, par (1.9.4),
\[
v(\nabla_\tau^l(e)) \geq \inf_{j \leq l} v(\nabla_\tau^j f) + c^{te},
\]
d'où
\[
\sup_{j \leq l} (-v\nabla_\tau^j e) - \sup_{j \leq l} (-v\nabla_\tau^j f) \leq c^{te}.
\]

Renversant les rôles de $e$ et $f$, on a de même
\[
\sup_{j \leq l} (-v\nabla_\tau^j f) - \sup_{j \leq l} (-v\nabla_\tau^j e) \leq c^{te},
\]
d'où l'estimation 1.9.3 pour un changement de base.


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Si $\tau$ et $\sigma$ sont deux vecteurs comme en 1.9, on a $\sigma = f\tau$ avec $f$ inversible, d'où
\[
\nabla_\sigma = f \nabla_\tau \quad (f \in \Theta^*)
\]
et on vérifie par récurrence que
\[
\nabla_\sigma^l e = \sum_{j \leq l} \varphi_j \nabla_\tau^j e \quad (\varphi_j \in \Theta).
\]

On en déduit que
\[
v(\nabla_\sigma^l e) \geq \inf v(\nabla_\tau^j e),
\]
d'où
\[
\sup_{j \leq l} (-v\nabla_\sigma^j e) \leq \sup_{j \leq l} (-v\nabla_\tau^j e).
\]

Renversant les rôles de $\sigma$ et $\tau$, on conclut que
\begin{equation}
\sup_{j \leq l} (-v\nabla_\sigma^j e) = \sup_{j \leq l} (-v\nabla_\tau^j e). \tag{1.9.5}
\end{equation}

D'après 1.9.1 et 1.9.3, il suffit, pour prouver 1.9, de prouver une majoration de type (1.9.2) pour un choix de $(V_0, \tau, e)$.

\textbf{Lemme 1.9.6}
Sous les hypothèses de 1.9, soient $e : k^n \longrightarrow V$ une base de $V$, $t$ une uniformisante, $w$ une forme différentielle présentant un pôle simple (= une base de $t^{-1}\Omega$), $\tau = w^{-1} \in \Omega$, et $\Gamma = (\Gamma_j^i)$ la matrice de connexion dans les bases $e$, $w$. Soient $s$ et $(r_{i,j})_{1 \leq i \leq n}$ des nombres rationnels, posons
\[
r_{i,j} = s + r_i - r_j
\]
et supposons que
\[
-v(\Gamma_j^i) \leq r_{i,j}.
\]

Soit enfin $\gamma \in M_n(k)$ la matrice de coefficients les $t^{r_{i,j}} \Gamma_j^i \mod m$ :
\[
\gamma_j^i =
\begin{cases}
0 & \text{si } -v(\Gamma_j^i) < r_{i,j}, \\
t^{r_{i,j}} \Gamma_j^i \mod m & \text{si } -v(\Gamma_j^i) = r_{i,j}.
\end{cases}
\]

On suppose que $s \leq 0$, ou que $\gamma$ est non nilpotente. Alors, une majoration (1.9.2) est vérifiée pour $r = \sup(s, 0)$.



Soient $N$ un entier tel que les $r_i N$ soient entiers, $\Theta' = \Theta[t]/(t^N)$, $K'$ le corps des fractions de $K$, $v : K'^* \longrightarrow \frac{1}{N} \mathbb{Z}$ la valuation de $K'$ qui prolonge $v$.

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et $\Lambda$ la matrice diagonale de coefficients les $t^{-r_i}$.

Sur $\Theta'$, soient $w'$ la base de $\Omega \otimes K'$ image inverse de $w$, $\tau'$ la base correspondante de $\Omega'^*$, et $e' = e \wedge \Lambda$ une nouvelle base de $V' = V \otimes K'$. Dans ces bases, la matrice de connexion est
\[
\Gamma' = \Lambda^{-1} \Gamma \Lambda + \Lambda^{-1} \partial_{\tau'} \Lambda.
\]

La matrice $\Lambda^{-1} \partial_{\tau'} \Lambda$ est à coefficients dans $\Theta'$, de sorte que soit

\begin{enumerate}
\item[(a)] $s \leq 0$, et $\Gamma'$ est à coefficients dans $\Theta'$,
\item[(b)] $s > 0$, $-v(\Gamma') = s$, et la "partie la plus polaire" $\psi$ de $\Gamma'$ est non nilpotente, de sorte que $-v(\Gamma'^l) \geq ls$.
\end{enumerate}

Par définition de $\Omega$ (1.6), $w'$ présente un pôle simple. Dans le cas (a), on en conclut par récurrence sur $l$ que
\[
v(\nabla_{\tau'}^l e') \geq 0.
\]

On vérifie par récurrence sur $m$ que dans la base $e'$
\[
\nabla_{\tau'}^m = \sum_{0 \leq k \leq m} (\Gamma'^{m-k} \Delta_k) \partial_{\tau'}^k,
\]
où $\Delta_k$ est somme algébrique de produits d'au plus $m - k - 1$ facteurs $\partial_{\tau'}^i \Gamma$. En particulier,
\[
\nabla_{\tau'}^m e' = \Gamma'^m + \delta_m
\]
et, dans le cas (b),
\[
-v(\nabla_{\tau'}^m e') = ms.
\]

Ceci vérifie (1.9.2) sur $\Theta'$ (pour des bases convenables), et 1.9.6 résulte dès lors de 1.9.3.

Le théorème 1.9 résulte de la proposition suivante et de 1.3.

\subsection*{1.10.}

\textbf{Proposition 1.10}
Sous les hypothèses de 1.9, soient $X$ une base de $\Omega'$, $t$ une uniformisante, $\tau = tX$ et $v$ un vecteur cyclique (1.2) de $V$. Posons


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\[
\left\{
\begin{aligned}
\nabla_X^n v &= \sum_{i < n} a_i \nabla_\tau^i v \\
\nabla_\tau^n v &= \sum_{i < n} b_i \nabla_\tau^i v
\end{aligned}
\right.
\]

Alors, la majoration (1.9.2) est vraie pour
\[
r = \sup(0, \sup(-v(b_i)/n - i)) = \sup(0, \sup(-v(a_i)/n - i) - 1).
\]

La même conclusion vaut pour $v$ vecteur cyclique de $V'$.

Cette proposition fournit un procédé de calcul de $r$ pour $V$ fibré vectoriel à connexion défini par une équation différentielle du $n^{\text{ième}}$ ordre (cf. I 4.8).

On a les identités
\begin{align*}
(t\nabla_X)^n - \sum b_i (t\nabla_X)^i &= t^n(\nabla_X^n - \sum a_i \nabla_X^i) \\
(t^{-1}\nabla_\tau)^n - \sum a_i (t^{-1}\nabla_\tau)^i &= t^{-n}(\nabla_\tau^n - \sum b_i \nabla_\tau^i).
\end{align*}

De ces identités, on tire que
\begin{align*}
a_i &= g_{n,i} + \sum_{j \leq i} g_{j,i} b_j, \quad v(g_{j,i}) \geq i - n \\
b_i &= h_{n,j} + \sum_{j \leq i} h_{i,j} a_j, \quad v(h_{i,j}) \geq n - j
\end{align*}
et pour $i \geq 0$,
\[
\sup_{j \leq i}(0, \sup(-v(b_j))) = \sup_{j \leq i}(0, \sup(-v(a_j) - (n - j))).
\]

Les deux expressions données pour $r$ coïncident donc.

Si $v \in V$ est un vecteur cyclique, la matrice de la connexion, dans les bases $(\nabla_\tau^i v)_{0 \leq i \leq n}$ de $V$ et $\tau$ de $\Omega'$, est

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\[
\Gamma = 
\begin{pmatrix}
0 & & & & b_0 \\
1 & 0 & & & b_1 \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & 1 & 0 & b_{n-2} \\
& & & 1 & b_{n-1}
\end{pmatrix}.
\]

Si $v \in V'$ est un vecteur cyclique, la matrice de la connexion dans la base de $V$ de cobase $(\nabla_\tau^i v)_{0 \leq i < n}$ et la base $\tau$ de $\Omega' \otimes K$ est

\[
\Gamma = -
\begin{pmatrix}
0 & 1 & & & \\
& 0 & \ddots & & \\
& & \ddots & 1 & \\
& & & 0 & 1 \\
b_0 & b_1 & \cdots & b_{n-2} & b_{n-1}
\end{pmatrix}.
\]

Il reste à appliquer 1.9.6. Pour $v \in V$, on prend $r_i = -ri$ et $s = r$. Pour $v \in V'$, on prend $r_i = ri$ et $s = r$. Dans le premier (resp second cas), si $s = r > 0$, la matrice $\gamma$ est du type

\[
\gamma =
\begin{pmatrix}
0 & & & & * \\
1 & 0 & & & * \\
& \ddots & \ddots & & \vdots \\
& & 1 & 0 & * \\
& & & 1 & *
\end{pmatrix},
\]
un des coefficients de la dernière colonne étant non nul si $s > 0$ (resp $\gamma$ est du type transposé). Ces coefficients sont ceux du polynôme caractéristique de $\gamma$, qui n'est donc pas nilpotent pour $s > 0$.

\subsection*{1.11.}

\textbf{Définition 1.11}
Sous les hypothèses de 1.9, on dit que la connexion $\nabla$ est régulière si la condition a) de 1.9 est vérifiée.

\subsection*{1.12.}

\textbf{Théorème 1.12. (N. Katz)}
Sous les hypothèses de 1.9, on a 
\begin{enumerate}
\item[(i)] Pour que la connexion $\nabla$ soit régulière, il faut et il suffit que $V$ admette

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une base $e$ telle que la matrice de la connexion, dans cette base, soit une matrice de forme différentielles présentant au pis des pôles simples.

\item[(ii)] Pour que la connexion $\nabla$ soit irrégulière, et vérifie une majoration (1.9.2) pour $r = a/b > 0$, il faut et il suffit qu'après le changement d'anneaux de $\Theta$ à $\Theta' = \Theta[t^b]$, et pour la valuation naturelle, à valeurs dans $\mathbb{Z}$, de $\Theta'$, $V$ admette une base $e$ telle que la matrice de la connexion, dans cette base, présente un pôle d'ordre $a+1$, et que la partie polaire d'ordre $a+1$ de cette matrice (matrice dans $M_n(k)$ déterminée à un facteur près) soit non nilpotente.
\end{enumerate}

Par extension des scalaires, le nombre $r$ tel que $\nabla$ vérifie (1.9.2) est multiplié par l'indice de ramification. Ceci nous ramène au cas où $b = 1$. Les conditions de (i) et (ii) sont alors suffisantes, d'après 1.9.6. Réciproquement, soit $v$ un vecteur cyclique (1.3), $t$ une uniformisante et $\tau \in \Omega'^*$ de valuation $1$. Il résulte des démonstrations de 1.9.6 et 1.10 que la base $e_i = t^{ri} \nabla_\tau^i v$ ($0 \leq i < \dim V$) vérifie (i) ou (ii).

\subsection*{1.13.}

\textbf{Proposition 1.13}
\begin{enumerate}
\item[(i)] Pour toute suite exacte horizontale
\[
V' \longrightarrow V \longrightarrow V''
\]
si les connexions de $V'$ et $V''$ sont régulières, alors la connexion de $V$ est régulière.
\item[(ii)] Si les connexions de $V_1$ et $V_2$ sont régulières, alors les connexions naturelles de
\[
V_1 \otimes V_2,\; \mathrm{Hom}(V_1, V_2),\; V_1^*,\; \wedge^p V_1,\; \dots
\]
sont régulières.
\item[(iii)] Si $\Theta'$ est un anneau de valuation discrète de corps des fractions $K'$ algébrique sur le corps des fractions $K$ de $\Theta$, et si $V' = V \otimes_K K'$, alors la connexion de $V'$ est régulière si et seulement si celle de $V$ l'est.
\end{enumerate}

L'assertion (iii), déjà utilisée en 1.12, résulte par exemple du calcul 1.10 et du fait que l'image réciproque d'une forme différentielle présentant un pôle simple présente encore un pôle simple.

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L'assertion (ii) résulte aussitôt du critère 1.12 (i).

L'assertion (i) signifie que pour toute suite exacte courte
\[
0 \longrightarrow V' \longrightarrow V \longrightarrow V'' \longrightarrow 0,
\]
$V$ est régulier si et seulement si $V'$ et $V''$ le sont. Après une éventuelle extension des scalaires, choisissons des bases $e'$ et $e''$ de $V'$ et $V''$ vérifiant 1.12 (i) ou (ii). Relevons $e''$ en une famille de vecteurs $e_0^n$ de $V$. Pour $N$ grand, la base $e' \cup t^{-N} e_0^n$ de $V$ vérifiera 1.12 (i) si $e'$ et $e''$ vérifient 1.12 (i), et vérifiera 1.12 (ii) dans le cas contraire.

\subsection*{1.14.}
Soient $S$ une surface de Riemann, $p \in S$ et $z$ une uniformisante en $p$. On désigne par $j$ l'inclusion de $S^* = S - \{p\}$ dans $S$. On appelle fibré vectoriel (holomorphe) sur $S^*$, méromorphe en $p$, la donnée de
\begin{enumerate}
\item[(i)] un fibré vectoriel $V$ sur $S^*$,
\item[(ii)] une classe d'équivalence d'extensions de $V$ en un fibré vectoriel sur $S$, deux extensions $V_1$ et $V_2$ étant dites équivalentes s'il existe un entier $n$ tels que
\[
z^n V_1 \subset V_2 \subset z^{-n} V_1 \subset j_* V.
\]
\end{enumerate}

Un tel fibré définit un vectoriel $V_K$ sur le corps des fractions $K$ de l'anneau local $\mathcal{O}_{p,S}$. Par base de $V$, on entendra une base qui se prolonge en une base d'un des prolongements permis de $V$. Il est clair que $V$ admet des bases de ce type dans un voisinage de $p$. Une connexion $\nabla$ sur $V$ est dite méromorphe en $p$ si ses coefficients (dans une quelconque base de $V$) sont méromorphes en $p$. Une telle connexion définit une connexion 1.2 sur $V_K$ (cf. 1.7.2). On dira qu'une connexion $\nabla$ sur $V$ est régulière en $p$ si elle est méromorphe en $0$ et si la connexion induite sur $V_K$ est régulière au sens 1.11, i.e. s'il existe une base de $V$ près de $p$ pour laquelle la matrice de la connexion présente au pis un pôle simple en $p$ (1.12).

\subsection*{1.15.}
Soient $D$ le disque unité ouvert
\[
D = \{z \mid |z| < 1\}
\]
et $D^* = D - \{0\}$. Le groupe $\pi_1(D^*)$ est cyclique infini, de générateur le lacet
\[
\gamma : [0,1] \to D^*, \quad \gamma(t) = e^{2\pi i t}.
\]


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$t \mapsto \lambda \cdot e^{2\pi i t}$ ($0 \leq t \leq 1$). Le groupoïde fondamental est donc le groupe constant $\mathbb{Z}$. Il agit sur tout système local sur $D^*$. Vu le dictionnaire 1.2, tout fibré vectoriel à connexion $V$ est donc muni d'une action du groupe fondamental local $\mathbb{Z}$. Le générateur $T$ de cette action s'appelle la \textbf{transformation de monodromie}.

\subsection*{1.16.}
Soient $V$ un fibré vectoriel sur $D$, et $\nabla$ une connexion sur $V|_{D^*}$, méromorphe en $0$. Si $(e_i)_{i=1,2}$ sont deux bases de $V$, dans lesquelles $\nabla$ est représenté par $\Gamma_1 \in \Omega^1(\mathrm{End}(V|_{D^*}))$, la différence $\Gamma_1 - \Gamma_2$ est holomorphe en $0$. La partie polaire de $\Gamma$ ne dépend donc pas du choix de $e$.

Supposons que $\Gamma$ ne présente qu'un pôle simple en $0$, donc ait pour "partie polaire" un élément $\gamma$ dans
\[
H^0\left(\frac{1}{z}\Omega^1/\Omega^1\right) \otimes \mathrm{End}(V)).
\]

L'application "résidu" : $H^0\left(\frac{1}{z}\Omega^1/\Omega^1\right) \longrightarrow \mathfrak{e}$ associe alors à $\gamma$ un endomorphisme de la fibre $V_0$ de $V$ en $0$. On appelle cet endomorphisme le \textbf{résidu} $\mathrm{Res}(\Gamma)$ de la connexion en $0$,
\[
\mathrm{Res}(\Gamma) \in \mathrm{End}(V_0).
\]

\subsection*{1.17.}

\textbf{Théorème 1.17}
Sous les hypothèses de 1.16, la transformation de monodromie $T$ s'étend en un automorphisme de $V$ dont la fibre en $0$ est donnée par
\[
T_0 = \exp(-2\pi i\,\mathrm{Res}(\Gamma)).
\]

On peut faire $V = \Theta^n$; l'équation différentielle pour les sections horizontales est alors
\[
\partial_z v = -\Gamma v,
\]
et l'équation différentielle pour une base horizontale $e : \Theta^n \longrightarrow V$ est donc
\begin{equation}
\partial_z e = -\Gamma e. \tag{1}
\end{equation}

En coordonnées polaires $(r, \theta)$,
\[
z = r\,e^{i\theta}, \quad dz = rie^{i\theta} d\theta + dr\,e^{i\theta},
\]
et cette équation fournit

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\[
\partial_\theta e = -ir\,\Gamma\, o\, e.
\]

Posons $\Gamma = \frac{\Gamma_0}{z} + \Gamma_1$, avec $\Gamma_0$ constant et $\Gamma_1$ holomorphe. L'équation précédente se réécrit :
\[
\partial_\theta e = -(i\,e^{-i\theta}\Gamma_0 + ir\,\Gamma_1)\,e.
\]

La transformation de monodromie en $(r, \theta)$ est la valeur en $(r, \theta + 2\pi)$ de la solution de cette équation différentielle qui en $(r, \theta)$ est l'identité. Lorsque $r \to 0$, la dite solution tend vers la solution de l'équation limite
\begin{equation}
\partial_\theta e = -i\,e^{-i\theta}\Gamma_0\,o\,e. \tag{2}
\end{equation}

On en déduit que $T$ a une valeur limite pour $z \to 0$, $\theta$ fixé, et que cette valeur dépend continûment de $\theta$. En particulier, $T$ est borné près de $0$, donc se prolonge en un endomorphisme $T$ de $V$ sur $D$. On conclut que $T$ a une valeur limite pour $z \to 0$ ; cette valeur, donnée par l'intégration de (1), ne dépend que de $\Gamma_0$. Il suffit pour calculer cette valeur limite de la calculer pour une quelconque connexion $\Gamma'$ de même résidu que $\Gamma$.

Par exemple, on vérifie :

\textbf{Lemme 1.17.1}

Soit sur $\Theta^n$ la connexion de matrice $U \frac{dz}{z}$ pour $U \in \mathrm{GL}_n(\mathfrak{e})$. L'équation $\nabla e = 0$ a pour solution générale
\[
e = \exp(-\log z \cdot U)f =: z^{-U}f,
\]
la monodromie donc est l'automorphisme de $\Theta^n$ de matrice constante 
\[
\exp(-2\pi i U).
\]

\textbf{Corollaire 1.17.2}

Sous les hypothèses précédentes, l'automorphisme $\exp(-2\pi i\,\mathrm{Res}(\Gamma))$ de la fibre de $V$ en $0$ est limite de conjugués de l'automorphisme de monodromie.


On prendra garde qu'il n'est pas vrai en général que $T_x$ soit conjugué à $T$ pour $x$ proche de $0$. Par exemple, si $\nabla$ est la connexion sur $\Theta^2$ pour laquelle
\[
\nabla(v) = d(v) + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} v \frac{dz}{z} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} v,
\]
la section horizontale générale est
\[
e = \begin{pmatrix} f(z) \\ g(z) \end{pmatrix} \quad \text{avec } \partial_z f = 0, \quad \partial_z g = -\frac{g}{z} + f.
\]


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\[
u = a, \quad v = az \log z + bz
\]

et la transformation de monodromie est
\[
T = \begin{pmatrix} 1 & 2\pi i z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]

Toutefois, il résulte de 1.17.2 que $T$ et $T_0$ ont même polynôme caractéristique. Voir aussi 5.6.

\subsection*{1.18.}
Soit $f$ une fonction multiforme sur $D^*$. Soit $D_1$ le disque $D^*$ moins la "coupure" $\mathbb{R}^+ \cap D^*$. On dira que $f$ a une \textbf{croissance modérée en $0$} si toutes les déterminations de $f$ sur $D_1$ ont une croissance en $1/r^n$ pour $n$ convenable
\[
f \leq A |z|^{-n}.
\]

On permet ici à $n$ de varier avec la détermination. Il est évident, toutefois, que pour $f$ à croissance modérée et de détermination finie, il existe $n$ qui convienne pour toutes les déterminations. Que $f$ ait une croissance modérée signifie encore que la fonction $f(e^{2\pi i z})$ ait une croissance au plus exponentielle dans chaque bande verticale.

Si $f$ est une section multiforme d'un fibré vectoriel $V$ sur $D^*$ méromorphe en zéro, on dit que $f$ a une \textbf{croissance modérée en $0$} si ses coordonnées, dans une quelconque base de $V$ près de $0$, ont une croissance modérée.

\subsection*{1.19.}

\textbf{Théorème 1.19}
Soit $V$ un fibré vectoriel méromorphe en $0$ sur $D^*$, muni d'une connexion $\nabla$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\nabla$ est régulière.
\item[(ii)] Les sections (multiformes) horizontales de $V$ ont une croissance modérée en $0$.
\end{enumerate}

$(i) \Rightarrow (ii)$. Choisissons, près de $0$, un isomorphisme $V \sim \Theta^n$ via lequel

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l'équation différentielle des sections horizontales s'écrit
\[
\partial_z v = \Gamma v,
\]
$\Gamma$ ne présentant en $0$ qu'un pôle simple au plus. On a alors pour $|z| \leq \lambda < 1$
\[
|\partial_z v| \leq \frac{k}{|z|} |v|
\]
et, sur $D_1$ (1.18), cette inégalité s'intègre pour $|z| \leq \lambda$ en
\[
|v| \leq \frac{1}{|z|^k} \sup_{|z|=\lambda} |v|.
\]

$(ii) \Rightarrow (i)$. Soit $T$ la transformation de monodromie de $V$ et soit $U \in \mathrm{GL}_n(\mathfrak{e})$ une matrice telle que $\exp(2\pi i\, U)$ soit conjugué à $T$. Soit $V_0$ le fibré vectoriel $\Theta^n$, muni de la connexion régulière de matrice
\[
\Gamma = \frac{U}{z}.
\]

Les fibrés $V$ et $V_0$ ont même monodromie. D'après les dictionnaires II et I2, ils sont donc isomorphes en tant que fibrés à connexion sur $D^*$. Soit
\[
\varphi : V_0|_{D^*} \longrightarrow V|_{D^*}
\]
un isomorphisme. Il suffit de prouver que $\varphi$ est compatible aux structures de fibrés méromorphes en zéro de $V_0$ et $V$ ; ceci a lieu si et seulement si $\varphi$ a une croissance modérée en $0$. Soit $e$ une base horizontale (multiforme) de $V_0|_{D^*}$, $f$ une base horizontale (multiforme) de $V|_{D^*}$.

\[
\begin{CD}
V_0 @>>> V \\
@A e AA @AA f A \\
\Theta^n @>>> \Theta^n
\end{CD}
\tag{i}
\]

Le morphisme $f$ a par hypothèse une croissance modérée. Le morphisme $e^{-1}$ a pour coordonnées des sections horizontales du fibré régulier $V_0'$, et a donc une croissance modérée. Le morphisme $\psi$ rendant commutatif le diagramme (i) est horizontal, pour la connexion usuelle de $\Theta^n$, donc est constant. Le composé $\varphi = f \circ e^{-1}$ a donc une croissance modérée.

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\subsection*{1.20.}

\textbf{Corollaire 1.20}
Soient $V_1$ et $V_2$ deux fibrés vectoriels méromorphes en $0$ sur $D^*$ munis de connexions régulières $\nabla_1$ et $\nabla_2$. Alors, tout homomorphisme horizontal $\varphi : V_1 \longrightarrow V_2$ est méromorphe en zéro. En particulier, $V_1$ et $V_2$ sont isomorphes si et seulement si ils ont même monodromie.


En effet, $\varphi$, vu comme section de $\mathrm{Hom}(V_1,V_2)$, est horizontal, donc a une croissance modérée puisque la connexion de $\mathrm{Hom}(V_1,V_2)$ est régulière.

\subsection*{1.21.}
Soient $X$ une courbe algébrique lisse sur un corps $k$ de car.~0 et $V$ un fibré vectoriel sur $X$ muni d'une connexion
\[
\nabla : V \longrightarrow \Omega^1_{X/k}(V).
\]

Soient $\bar{X}$ la courbe projective et lisse complétée de $X$ et $x_\infty \in \bar{X} - X$ un "point à l'infini" de $X$. L'anneau local $\mathcal{O}_{x_\infty}$ muni de
\[
d : \mathcal{O}_{x_\infty} \longrightarrow \Omega^1_{x_\infty}
\]
vérifie (1.4.1), et $V$ induit sur le corps des fractions $K$ de $\mathcal{O}_{x_\infty}$ (égal au corps des fonctions de $X$ pour $X$ connexe) un vectoriel $V_K$ muni d'une connexion au sens 1.2. On dira que la connexion de $V$ est \textbf{régulière en $x_\infty$} si cette connexion induite sur $V_K$ est régulière au sens 1.10.

Si $\bar{X}_1$ est une quelconque courbe contenant $X$ comme ouvert dense, et si $S \subset \bar{X}_1 - X$, on dit que la connexion $\nabla$ est régulière en $S$ si elle est régulière en tous les points de l'image réciproque de $S$ dans $\bar{X}$ (ceci a un sens, la normalisée de $\bar{X}_1$ s'identifiant à un ouvert de $\bar{X}$).

On dit enfin que la connexion $\nabla$ est \textbf{régulière} si elle est régulière en tous les points à l'infini de $X$.

\subsection*{1.22.}
Si $k = \mathfrak{e}$, tout fibré vectoriel $V$ sur $X$ peut se prolonger en un fibré vectoriel sur la courbe complétée $\bar{X}$, si $V_1$ et $V_2$ sont deux prolongements de $V$, et si $t$ est une uniformisante en un point $x_\infty \in \bar{X} - X$, alors il existe $N$ tel que dans un voisinage de $x_\infty$, les sous-faisceaux $V_1$ et $V_2$ de l'image directe de $V$

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vérifient
\[
t^N V_1 \subset V_2 \subset t^{-N} V_1.
\]

Le fibré $V^{\mathrm{an}}$ est donc canoniquement muni d'une structure méromorphe en tout $x_\infty \in \bar{X} - X$.

Si $V$ est muni d'une connexion, on vérifie aussitôt sur 1.12 que $(V,\nabla)$ est régulier en $x_\infty \in \bar{X} - X$ au sens 1.21 si et seulement si $(V^{\mathrm{an}},\nabla)$ est régulier en $x_\infty$ au sens 1.14.

\subsection*{1.23.}

\textbf{Théorème 1.23}
Soit un diagramme commutatif
\[
\begin{CD}
X @>>> \bar{X} \\
@V f VV @VV \bar{f} V \\
S @= S
\end{CD}
\]
dans lequel
\begin{enumerate}
\item[(a)] $S$ est un schéma noethérien de caractéristique $0$, et $j$ une immersion ouverte de $S$-schémas de type fini,
\item[(b)] $f$ est lisse purement de dimension relative un,
\item[(c)] $T = \bar{X} - X$ est quasi-fin sur $S$.
\end{enumerate}

Soit $V$ un fibré vectoriel sur $X$ muni d'une connexion relative
\[
\nabla : V \longrightarrow \Omega^1_{X/S}(V).
\]
Alors, l'ensemble des points $s \in S$ tels que la restriction de $(V,\nabla)$ à la fibre $X_s$ de $X$ en $s$ soit régulier en $T_s$ est fermé dans $S$.

Il est clair sur 1.12 que le dit ensemble est constructible (ainsi que son complément, il a la propriété de continuité, avec tout point $\eta$, un voisinage de $\eta$ dans l'adhérence $\bar{\eta}$). Reste à montrer qu'il est stable par spécialisation, ce qui se vérifie en prouvant que si $S$ est le spectre d'un anneau de valuation discrète, de point générique $\eta$ et de point fermé $s$, et que $(V_\eta,\nabla)$ sur $X_\eta$ est régulier en $T_\eta$, alors $(V_s,\nabla)$ sur $X_s$ est régulier en $T_s$. Quitte à remplacer $\bar{X}$ par son normalisé, on peut supposer $\bar{X}$ plat sur $S$ et normal.

Soit $x \in T_s$. Soit $\bar{X}'$ un voisinage affine de $x$ dans $\bar{X}$ tel que la


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restriction de $V$ à $\bar{X}^1 \cap X_s$ soit libre, de base $e_i$ et tel qu'il existe un ouvert affine $X''$ de $X$ tel que $X''_s = \bar{X}^1 \cap X_s$ (pour qu'il existe un tel $X''$, il suffit de prendre $\bar{X}$ assez petit pour que $\bar{X}_s - X_s$ soit défini par une équation, par exemple). Relevons $e_i$ en une section $\widetilde{e}_i$ de $V$ sur $X''$, et soit $X^1$ l'ouvert de $X''$ sur lequel $(\widetilde{e}_i)$ est une base.

Les hypothèses de (1.23) sont encore vérifiées pour $X' \to \bar{X}^1$, et $V|_{X^1}$ est régulier en $\bar{X}^1 - X^1$. Pour vérifier que $V|_{X'_s} = V|_{X_s}$ est régulier en $x$, on se ramène donc au cas où $V$ est libre ; on peut donc supposer $V$ prolongé en un fibré vectoriel sur $\bar{X}$, de base $(e_i)$.

Soit $f$ une section de $\mathcal{O}_{\bar{X}}$, non constante sur $X_s$ et nulle sur $\bar{X} - X$. Soit $\tau$ le champ de vecteur relatif tel que $<\tau, df/f> = 1$.

Par construction, le champ de vecteur $\tau$ induit sur le normalisé $\bar{X}^n_s$ de $\bar{X}_s$ un champ de vecteurs qui s'annule simplement sur $\bar{X}_s - X_s$. Pour vérifier que $V|_{X_s}$ est régulier en $x$, il suffit donc de vérifier qu'il existe $n$ tel que les
\[
t^n \nabla_\tau^i e_k |_{\bar{X}_s} \quad (i \geq 0)
\]
soient tous réguliers. Par hypothèse, il existe $n$ tel que les
\[
t^n \nabla_\tau^i e_k |_{\bar{X}_\eta}
\]
soient réguliers. Les $t^n \nabla_\tau^i e_k$ sont donc réguliers sur $\bar{X}_\eta \cup X_s$, dont le complément est de codimension deux ; puisque $\bar{X}$ est normal, les $t^n \nabla_\tau^i e_k$ sont automatiquement partout réguliers, notamment sur $\bar{X}_s$.

On vérifie de même la variante analytique suivante de 1.23.

\subsection*{1.24.}

%\textbf{Proposition 1.24}

\begin{proposition}[Proposition 1.24]

Soit un diagramme commutatif
\[
\begin{CD}
X @>j>> \bar{X} \\
@V f VV @VV \bar{f} V \\
D @= D
\end{CD}
\]
dans lequel

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\begin{enumerate}
\item[(i)] $D$ est le disque unité,
\item[(ii)] $f$ est lisse purement de dimension relative un,
\item[(iii)] $j$ est une immersion ouverte et $T = \bar{X} - X$ est un sous-espace analytique quasi-fin sur $D$.
\end{enumerate}

Soit $V$ un fibré vectoriel sur $X$, prolongé en un faisceau analytique cohérent sur $\bar{X}$, et muni d'une connexion relative sur $X$. Pour tout $\lambda$, la restriction de $V$ à $f^{-1}(\lambda)$ est munie d'une structure méromorphe (1.14) en les points de l'image réciproque de $T$ dans la surface de Riemann normalisée de $f^{-1}(\lambda)$. Si, pour $\lambda \neq 0$, $V|_{f^{-1}(\lambda)}$ est régulier en ces points, alors $V|_{f^{-1}(0)}$ a la propriété analogue.

\end{proposition}



\newpage 
\input{debib.tex}

\end{document}
